Электронный учебник по математике «Конус»

Мы рады Вас приветствовать на нашем познавательном электронном ресурсе “Конус”!

Учебное пособие «Конус» предназначено для учащихся 2 курса профессионально-технических и средних специальных заведений на основе базового образования, направлено на улучшение качества усвоения важных и необходимых основ по разделу «Тела вращения».

Данный электронный модуль содержит  теоретический материал, презентацию с примерами решения задач, тест, глоссарий, в котором приводятся основные определения и формулы.

По данной теме разработан лекционный и практический блок с отобранной информацией и материалами, которые легко воспринимаются и более глубоко проникают в память.

Работа с электронным пособием не потребует дополнительных усилий по освоению интерфейса. При переходе на данное электронное средство обучения вы заметите, что оно отображается на экране в формате, хорошо знакомом каждому пользователю компьютера (основные передвижения по сайту осуществляются с помощью строки меню).

Конусом называют тело, состоящее из основания – плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией (кривой или смешанной), вершины – точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.

Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность ѡ (О, R).

Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания конуса. Можно выделить конус, высота которого падает в центр плоской фигуры основания.

Вершиной конуса – называется вершина конической поверхности.

Образующими конуса называются отрезки образующих конической поверхности, расположенные между его вершиной и основанием.

Ось конуса – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса

Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.

Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.

Прямым круговым конусом называют конус, основание которого есть круг, а высота его соединяет вершину и центр основания данного конуса. Такой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и называется также конусом вращения.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образующей конуса. 

Формула площади боковой поверхности конуса:

S_бок = πRℓ

где r – радиус окружности основания, ℓ – длина образующей конуса.

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей основания конуса и его боковой поверхности. Основанием конуса является круг.

Формула площади полной поверхности конуса:

S = πRℓ + πR² = πR (R + ℓ)

где r – радиус окружности основания, ℓ – длина образующей конуса.

Формула объема конуса:

V = 1/3 πR² * H

Основные свойства кругового конуса

1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360° образуется прямой круговой конус.

3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180° образуется прямой круговой конус.

4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг.

5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс.

6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола.

7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник.

8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.

Пусть окружность ω (O, R) лежит в некоторой плоскости β, а прямая FO (F ∉ β) перпендикулярна этой плоскости. Через точку F и каждую точку окружности ω (O, R) проведем прямую. Конической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими конической поверхности, точка F называется ее вершиной, а прямая FO — осью конической поверхности (рис. 1, а).

Конусом называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей ω(O, R) (рис. 2, б). Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность ω(O, R). Вершиной конуса называется вершина S конической поверхности. Образующей конуса называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей конической поверхности, расположенный между его вершиной и основанием. Например, отрезок FT, T ∈ ω(O, R), — образующая конуса (см. рис. 3, б). Все образующие конуса равны между собой. Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса. Высотой конуса называется отрезок FO (или его длина), где точка F — вершина конуса, а точка O — центр его основания, прямая FO называется осью конуса.

Конус может быть получен поворотом прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов на 360°. На рисунке 2 а изображен конус, полученный поворотом прямоугольного треугольника SOC вокруг катета SO. В этом случае боковая поверхность конуса образуется поворотом гипотенузы SC, а круг, являющийся основанием конуса, — поворотом катета OC. Если плоскость проходит через высоту SO конуса, то сечение конуса этой плоскостью называется осевым и представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса. Например, на рисунке 2 б  изображено осевое сечение SAB. Если плоскость проходит через внутреннюю точку высоты SO конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости (рис. 2, в).

За площадь боковой поверхности конуса принимается число, к которому стремится площадь боковой поверхности, вписанной в этот конус правильной n-угольной пирамиды, когда число n сторон основания неограниченно возрастает.

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую (S_бок = πRℓ, где R — радиус основания конуса, ℓ — образующая).

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Таким образом, площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле S = πRℓ + πR² = πR (R + ℓ).

За объем конуса принимается число, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, когда число сторон основания пирамиды неограниченно возрастает. Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = 1/3 πR² * H

где R — радиус основания конуса, H — его высота.